数学与美术的融合,数学与艺术的完美结合

[遇见数学创作小组] 作者 Kevin.

分形,一个几何学专用名词,乍一看很高级,实际上,我们都能领略它的美丽。

首先,什么是分形呢?我们来看图1,这是网络上的一张分形图,远看可能只是几个螺旋,但是,走进了看,你会发现有大螺旋,还有各种小螺旋。更有趣的是,这些螺旋虽然大小不同,但是形状都是一样的,连整个图形的轮廓也有这个形状。数学上称之为相似。也就是说,把这张图片随意地放大或者缩小,都会看到一样的形状。这其实就是分形,它可以被分成几个部分,都有自相似性。虽然说看多了可能会有催眠的效果,但这确实有一种美感,吸引我们去研究。

▲ 图1 朱利亚集合, 以法国数学家加斯顿·朱利亚的名字命名(图自维基)

既然说到相似比,那么我们来介绍一下它。如果说到两个图形是相似的,那么他们一定是形状相同,但是大小是不同的。要做到形状相同,那么它们的边一定是成比例的。

举个例子,两个三角形相似,记小三角形三边为 a,b,c,大三角形三边为 A,B,C,那么

其中 k 是个常数,而大三角形与小三角形的相似比就为 k。

关键的来了!研究分形,我们还需要引入一个概念,那就是豪斯多夫维数(Hausdorff dimension)。维度这个词相信大家都不陌生,点为 0 维,线为 1 维,平面 2 维,空间 3 维。大多数人能认知的大概有这么 4 个,而且这 4 个维度在日常生活中一直存在。但是,我们有没有想过维度是怎么定义的呢?其实维度是过一个点能作多少条互相垂直的直线。在平面上,过一个点能作两条互相垂直的直线,如图2。那么,在我们生活的三维空间呢,过一个点能作三条直线,如图3。

好,了解了维度是怎么来的之后,我们来了解一下豪斯多夫维数是怎么计算的。先来看图4,我们以相似比为 2 来切割第一条线段,最终得到两条线段,怎么算维数呢?怎么将相似比和分割的条数联系起来呢?维数这样计算出来,

神奇吧!就是 1 维平面。我们来看图5,其中,有一个大正方形,我们按相似比为 2 来切割该正方形,最终,我们得到四个小正方形。维数即为

而这个“2”就是我们所知的平面的维度。那对于三维空间呢?如图6所示,同样以 2 为相似比,将这个长方体分为 8 块,让我们再一次见证奇迹,维数为

如此神奇,3 的确是维度。

如此,我们得到维数的公式:

其中 n 为相似比,k 为分块数。

那么,我们来看一些经典的分形图案。如图7所示,为著名的科赫雪花,它的是在等边三角形基础上变形而成的,将每条边分为 3 份,以中间一边为等边三角形的一边,向外构造等边三角形,再将那条边擦掉,如此反复,便形成了如图7所示图案。

▲ 图7 取曲线的1/4, 再放大3倍, 结果看上去和原来曲线一样

是时候计算豪斯多夫维数了,我们来看图7的右边的那张图,在红色椭圆的区域内,以3为相似比,分成4条边,那么它的豪斯多夫维数就是

这令人难以理解,它能在平面中被画出,维度却小于2,这个现象十分有趣。所以,我们看问题不能太过于简单,要仔细地去证明。

那么为什么会出现分形维数呢?对于欧氏几何中的整形而言,只需长度,面积,体积就能做测量,且不管怎么处理图形,折叠也好,扭曲也好,它的维数是不会发生改变的。但是在分形中,这样研究,似乎有些困难,因为它不规则。就像这科赫雪花,表面粗糙,由线段构成,所以它大于 1 维。可惜它还到不了 2 维,所以只能是一个非整数维数。

还有比较著名的分形图案为谢尔宾斯基三角形,如图8所示。

▲图8 谢尔宾斯基三角形前 6 次迭代过程

它是通过不断“挖掉”等边三角形得到的,每个三角形都互相相似。同样,我们来计算一下豪斯多夫维数,它是以 2 为相似比做出的,且做出了 3 个,所以它的维度

这个同样是一个非整数的分形维度

分形是是十分有趣的数学问题,在日常生活中也常出现分形,如闪电,植物等,见图9。

图9. 分形之美

在生活当中无处不在,我们所见的事物,很多被我们忽视的地方都与数学相关,分形只是其中一个,这些事物都有着美感。希望大家能够用心去感受这些美,去体会数学的乐趣,生活的美丽。(完)

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